Giả sử ta có câu sau

2·0 = 0 + 0, và 2·1 = 1 + 1, và 2·2 = 2 + 2, vân vân.

Đây có vẻ giống với một mệnh đề với phép hội bởi vì ta sử dụng liên tục từ "và". Tuy nhiên từ "vân vân" không thể dùng làm phép hội trong logic mệnh đề. Do đó, câu trên phải được sửa như sau:

Với mọi số tự nhiên n, ta có 2·n = n + n.

Câu trên có giá trị chân lý đúng, vì ta có thể thay bất kỳ số tự nhiên nào cho n mà phát biểu "2·n = n + n" vẫn đúng. Ngược lại thì câu sau,

Với mọi số tự nhiên n, ta có 2·n > 2 + n

là sai là vì nếu n được thay bởi 1 thì mệnh đề "2·1 > 2 + 1" là sai. Ta chỉ cần một ví dụ phản chứng để chứng minh lượng từ với mọi sai.

Mặt khác nếu ta thay câu trên thành,Với mọi hợp số n, ta có 2·n > 2 + nthì câu này đúng bởi không có phản chứng nào là hợp số cả. Điều này cho thấy tầm quan trọng của miền biện luận, tức là việc chọn ra các giá trị hay đối tượng mà n có thể lấy.[note 1] Cụ thể hơn nếu miền biện luận bị giới hạn chỉ bao gồm các đối tượng thỏa mãn mệnh đề nào đó, thì vị từ đang xét phải đi kèm thêm phép kéo theo. Lấy ví dụ, câu "Với mọi hợp số n, ta có 2·n > 2 + n" tương đương với

Với mọi số tự nhiên n, nếu n là hợp số, thì 2·n > 2 + n.

Ký hiệu

Trong logic bậc nhất, ký hiệu lượng từ với mọi ∀ {\displaystyle \forall } (chữ  "A" đảo ngược trong phông chữ sans-serif, Unicode U+2200) được dùng để biểu thị cho lượng từ với mọi. Lần đầu được dùng bởi Gerhard Gentzen trong 1935, tương đương với ký hiệu lượng từ tồn tại ∃ {\displaystyle \exists } của Giuseppe Peano cho lượng từ tồn tại và sau đó được sử dụng trong công trình của Bertrand Russell.[1]

Lấy ví dụ, nếu P(n) làm vị từ "2·n > 2 + n" và N là tập các số tự nhiên n, thì

∀ n ∈ N P ( n ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}

là câu (có giá trị chân lý sai) sau:

"với mọi số tự nhiên n, ta có 2·n > 2 + n".

Tương tự, nếu Q(n) là vị từ "n là hợp số", thì

∀ n ∈ N ( Q ( n ) → P ( n ) ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}

là câu sau:

"với mọi số tự nhiên n, nếu n là hợp số, thì 2·n > 2 + n".